Задача
Сфера радиуса $\sqrt{5}$ с центром в точке O касается всех сторон треугольника ABC. Точка касания N делит сторону AB пополам. Точка касания M делит сторону AC так, что AM = ${\frac{1}{2}}$MC. Найдите объем пирамиды OABC, если известно, что AN = NB = 1.
Решение
Пусть данная сфера касается стороны BC треугольника ABC в точке K. Тогда
BK = BN = 1, AM = AN = 1, CM = 2 . AM = 2, CK = CM = 2.
Сечение сферы плоскостью треугольникаABCесть окружность,
впмсанная в треугольникABC, причем центрO1этой окружности -
ортогональная проекция центраOсферы на плоскость треугольникаABC. Значит,OO1- высота пирамидыOABC.
Пусть r - радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, p -
ролупериметр треугольника, s - площадь. Поскольку треугольник ABC
равнобедренный, отрезкок CN - его высота. Тогда
CN = $\displaystyle \sqrt{AC^{2} - AN^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{9 - 1}$ = 2$\displaystyle \sqrt{2}$,
s = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB . CN = 2$\displaystyle \sqrt{2}$, r = s/p = 2$\displaystyle \sqrt{2}$/4 = $\displaystyle \sqrt{2}$/2.
Из прямоугольного треугольникаOO1Nнаходим, что
OO1 = $\displaystyle \sqrt{ON^{2} - O N^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{5 - 1/2}$ = 3/$\displaystyle \sqrt{2}$.
Следовательно,
V(OABC) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$s . OO1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$2$\displaystyle \sqrt{2}$ . 3/$\displaystyle \sqrt{2}$ = 2.
Ответ
2.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет