Задача
Пусть M - точка пересечения медиан треугольника ABC, O - произвольная точка пространства. Докажите, что
OM2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(OA2 + OB2 + OC2) - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(AB2 + BC2 + AC2).
Решение
Если M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то
$\displaystyle \overline{OM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$($\displaystyle \overline{OA}$ + $\displaystyle \overline{OB}$ + $\displaystyle \overline{OC}$),
поэтому
$\displaystyle \overline{OM}^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$($\displaystyle \overline{OA}$ + $\displaystyle \overline{OB}$ + $\displaystyle \overline{OC}$)2 =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(OA2 + OB2 + OC2 + 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OB}$ + 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ + 2 . $\displaystyle \overline{OB}$ . $\displaystyle \overline{OC}$).
Из равенства$\overline{AB}$=$\overline{OB}$-$\overline{OA}$следует, чтоAB2=OB2- 2 . $\overline{OA}$ . $\overline{OB}$+OA2,
откуда находим, что
2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OB}$ = OB2 + OA2 - AB2.
Аналогично находим, что
$\displaystyle \overline{BC}$ = $\displaystyle \overline{OC}$ - $\displaystyle \overline{OB}$, BC2 = OC2 - 2 . $\displaystyle \overline{OB}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ + OB2,
$\displaystyle \overline{AC}$ = $\displaystyle \overline{OA}$ - $\displaystyle \overline{OC}$, AC2 = OA2 - 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ + OC2,
откуда
2 . $\displaystyle \overline{OB}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ = OC2 + OB2 - BC2, 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ = OA2 + OC2 - AC2.
Следовательно,
$\displaystyle \overline{OM}^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(OA2 + OB2 + OC2 + 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OB}$ + 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ + 2 . $\displaystyle \overline{OB}$ . $\displaystyle \overline{OC}$) =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(OA2 + OB2 + OC2 + OB2 + OA2 - AB2 + OC2 + OB2 - BC2 + OA2 + OC2 - AC2) =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(3 . OA2 + 3 . OB2 + 3 . OC2 - AB2 - BC2 - AC2) =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(OA2 + OB2 + OC2) - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(AB2 + BC2 + AC2).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет