Первое решение. Предположим, что такого треугольника не существует, и докажем, что существует прямая, все точки которой имеют один цвет.

Пусть на некоторой прямой $l$ есть две точки $A$, $B$ одного цвета (обозначим этот цвет $1$), расстояние между которыми равно $d$. Пусть $l_1$, $l_2$ — две прямые, параллельные $l$ и удаленные от нее на расстояние $2/d$. Если на какой-нибудь из этих прямых есть точка цвета $1$, то она образует с точками $A$, $B$ треугольник площади $1$, все вершины которого имеют одинаковый цвет. Если на каждой из прямых $l_1$, $l_2$ присутствуют два цвета и на одной из них найдутся две точки одного цвета на расстоянии $d/2$, то они вместе с точкой такого же цвета на другой прямой образуют треугольник площади $1$, все вершины которого имеют одинаковый цвет. Если же на каждой из прямых $l_1$, $l_2$ присутствуют два цвета и любые две точки на расстоянии $d/2$ разных цветов, то любые две точки на расстоянии $d$ будут одного цвета, а значит, на прямой $AB$ все точки имеют цвет $1$.

Пусть теперь все точки некоторой прямой $a$ покрашены в цвет $1$. Тогда остальные точки плоскости покрашены в два оставшихся цвета. Возьмем прямую, не параллельную $a$, и две точки $C$, $D$ на ней одного цвета (обозначим этот цвет $2$). Если на какой-нибудь из двух прямых, параллельных $CD$ и удаленных от нее на расстояние $2/CD$, найдется точка цвета $2$, то $C$, $D$ и эта точка образует треугольник площади $1$, все вершины которого имеют одинаковый цвет. Если же таких точек нет, то найдется треугольник площади $1$ с вершинами цвета $3$. Второе решение. Это решение основано на работе Александра Власова. Пусть не все точки плоскости раскрашены в один цвет. Тогда на некоторой прямой присутствуют точки разных цветов: точки $A$ и $B$ цвета $1$ и точка $X$ цвета $2$. Пусть $A_1B_1B_2A_2$ — прямоугольник, в котором $A$, $B$ — середины сторон $A_1A_2$, $B_1B_2$ соответственно, длины этих сторон равны $4/AB$, $C_1$, $C_2$ — середины $A_1B_1$ и $A_2B_2$ соответственно, $D$ — точка, симметричная $C_1$ относительно $B_1$. Если среди точек $A_1$, $B_1$, $C_1$, $A_2$, $B_2$, $C_2$ есть точка цвета 1, она образует искомый треугольник с точками $A$, $B$.

Если среди точек $A_1$, $B_1$, $C_1$, $A_2$, $B_2$, $C_2$ нет точек цвета 1, то возможны следующие случаи.

1. Точки $A_1$ и $B_1$ (рассуждение для точек $A_2$ и $B_2$ аналогично) разного цвета. Тогда цвет $C_1$ совпадает с цветом одной из них, например, $A_1$. Если какая-то из точек $A_2$, $C_2$ того же цвета, эти три точки образуют искомый треугольник. В противном случае искомым будет треугольник $A_2C_2B_1$.
2. Если одна из пар $A_1$, $B_1$ или $A_2$, $B_2$ цвета 2, она образует искомый треугольник с точкой $X$.

   % \item

3. Если все точки $A_1$, $B_1$, $A_2$, $B_2$ цвета 3 и одна из точек $C_1$, $D$ тоже цвета 3, то треугольник $B_1C_1B_2$ или $B_1DB_2$ искомый. В противном случае треугольник $C_1DX$ искомый.

Да.