Олимпиадные задачи по теме «Системы счисления» для 9-11 класса - сложность 1 с решениями

Существует ли натуральное число, кратное 2007, сумма цифр которого равна 2007?

Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.

Подряд без пробелов выписали все чётные числа от 12 до 34. Получилось число 121416182022242628303234. Делится ли оно на 24?

На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не стало четырёхзначным?

Натуральное число <i>n</i> записано в десятичной системе счисления. Известно, что если какая-то цифра входит в эту запись, то <i>n</i> делится нацело на эту цифру (0 в записи не встречается). Какое максимальное число <i>различных</i> цифр может содержать эта запись?

Назовём натуральное число "замечательным", если оно – самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр.

Сколько существует трёхзначных замечательных чисел?

Дано число: 123456789101112... . Какая цифра стоит на 2000-м месте?

Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.

Найти все натуральные числа <i>x</i>, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа <i>x</i> можно вычесть одну и ту же цифру  <i>a</i> ≠ 0  (все цифры его не меньше <i>a</i>) и при этом получится  (<i>x</i> − <i>a</i>)².

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?

Пусть<i>a</i>и<i>b</i>— целые числа. Напишем число<i>b</i>справа от числа<i>a</i>. Если число<i>a</i>чётное, то разделим его на 2, если оно нечётное, то сначала вычтем из него единицу, а потом разделим его на 2. Получившееся число<i>a</i>₁напишем под числом<i>a</i>. Справа от числа<i>a</i>₁напишем число 2<i>b</i>. С числом<i>a</i>₁проделаем ту же операцию, что и с числом<i>a</i>, и, получив число<i>a</i>₂, напишем его под числом<i>a</i>₁. Справа от числа<i>a</i>₂напишем число 4<i>b&l...

Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, даёт полный квадрат. Найти все такие числа.

Сколько существует восьмизначных чисел, в записи которых цифры идут в порядке убывания?

Найдите сумму цифр в десятичной записи числа 4¹²·5²¹.

Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3<i>n</i> одинаковых цифр, делится на 37.

Сколько четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5, если:

  а) никакая цифра не повторяется более одного раза;

  б) повторения цифр допустимы;

  в) числа должны быть нечётными и повторений цифр быть не должно?

Почему равенства  11² = 121  и  11³ = 1331  похожи на строчки треугольника Паскаля? Чему равно 11⁴?

Сколько существует шестизначных чисел, у которых каждая последующая цифра меньше предыдущей?

<b>Позиционная система счисления.</b>Докажите, что при<i>q</i>$\geqslant$2 каждое натуральное число<i>n</i>может быть единственным образом представлено в виде<div align="CENTER"> <i>n</i> = <i>a</i>_k<i>q</i>^k + <i>a</i>_{k - 1}<i>q</i>^{k - 1} +...+ <i>a</i>₁<i>q</i> + <i>a</i>₀, </div>где0$\leqslant$<i>a</i>₀,...,<i>a</i>_k<<i>q</i>

Найдите последние две цифры в десятичной записи числа  1! + 2! + ... + 2001! + 2002!.

Докажите, что произведение цифр любого натурального числа, большего 9, меньше самого числа.

Найдите количество пятизначных чисел, в десятичной записи которых содержится хотя бы одна цифра 8.

Дано число 100...01, число нулей в нем равно 299. Докажите, что это число составное.

Дано число 1·2·3·4·5·...·56·57.

  а) Какая последняя цифра этого числа?

  б) Каковы десять последних цифр этого числа?