Олимпиадные задачи по теме «Рациональные функции» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Докажите, что если выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_2.gif"> </i>принимает рациональное значение, то и выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_3.gif"> </i>также принимает рациональное значение.

Пусть1<i><a<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115400/problem_115400_img_2.gif"> b<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115400/problem_115400_img_2.gif"> c </i>. Докажите, что <center><i>

log _a b+log _b c+log _c a<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115400/problem_115400_img_2.gif">log _b a+log _c b+log _a c.

</i></center>

Известно, что существует число<i> S </i>, такое, что если<i> a+b+c+d=S </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_4.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_5.gif">=S </i>(<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>,<i> d </i>отличны от нуля и единицы), то<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_6.gif">+ <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_7.gif">+ <img src="/storage/problem-media/11017...

Числовое множество<i> M </i>, содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов<i> a,b,c </i>из<i> M </i>число<i> a</i>2<i>+bc </i>рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное<i> n </i>, что для любого<i> a </i>из<i> M </i>число<i> a<img src="/storage/problem-media/109780/problem_109780_img_2.gif"> </i>рационально.

Зная, что<i> x²+x+1=0 </i>, определить<i> x¹⁴+1/x¹⁴ </i>.

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число  <img width="70" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107816/problem_107816_img_2.gif"> + <img width="70" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107816/problem_107816_img_3.gif">.

Целые ненулевые числа <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i> таковы, что равенство <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98505/problem_98505_img_2.gif"></div>выполнено при всех целых значениях<i>x</i>, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.   a) Докажите, что число<i>n</i>чётно.   б) При каком наименьшем<i>n</i>такие числа существуют?

Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i>   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73719/problem_73719_img_2.gif">

Числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что  <img align="amsmiddle" src="/storage/problem-media/64428/problem_64428_img_2.gif">.  Какие значения может принимать выражение  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64428/problem_64428_img_3.gif">?

Пусть<i>xy</i>+<i>yz</i>+<i>xz</i>= 1. Докажите равенство:<div align="CENTER"> $\displaystyle {\dfrac{x}{1-x^2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{y}{1-y^2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{z}{1-z^2}}$ = $\displaystyle {\dfrac{4xyz}{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}}$. </div>

Докажите, что если  <i>f</i>(<i>x</i>) – многочлен, степень которого меньше <i>n</i>, то дробь   <img width="205" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_2.gif">   (<i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы <i>n</i> простейших дробей:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_3.gif">

где  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A<sub>...