Олимпиадные задачи по теме «Модуль числа» для 8 класса - сложность 3 с решениями
Модуль числа
НазадСуществуют ли действительные числа<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>такие, что при всех действительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется неравенство <center><i>
|x+a|+|x+y+b|+|y+c|>|x|+|x+y|+|y|? </i></center>
Даны три приведённых квадратных трехчлена: <i>P</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), <i>P</i><sub>2</sub>(<i>x</i>) и <i>P</i><sub>3</sub>(<i>x</i>). Докажите, что уравнение |<i>P</i><sub>1</sub>(<i>x</i>)| + |<i>P</i><sub>2</sub>(<i>x</i>)| = |<i>P</i><sub>3</sub>(<i>x</i>)| имеет не более восьми корней.
На доске написано число 0. Два игрока по очереди приписывают справа к выражению на доске: первый – знак + или<i> - </i>, второй – одно из натуральных чисел от 1 до 1993. Игроки делают по 1993 хода, причем второй записывает каждое из чисел от 1 до 1993 ровно по одному разу. В конце игры второй игрок получает выигрыш, равный модулю алгебраической суммы, написанной на доске. Какой наибольший выигрыш он может себе гарантировать?
Бесконечная последовательность чисел <i>x<sub>n</sub></i> определяется условиями: <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = 1 – |1 – 2<i>x<sub>n</sub></i>|, причём 0 ≤ <i>x</i><sub>1</sub> ≤ 1.
а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда <i>x</i><sub>1</sub> рационально.
б) Сколько существует значений <i>x</i><sub>1</sub>, для которых эта последовательность – периодическая с периодом <i>T</i> (для каждого <i>T</i> = 2, 3, ...)?
Решите систему неравенств
|<i>x</i>| < |<i>y – z + t</i>|,
|<i>y</i>| < |<i>x – z + t</i>|,
|<i>z</i>| < |<i>x – y + t</i>|,
|<i>t</i>| < |<i>x – y + z</i>|.
Докажите, что система неравенств
|<i>x</i>| > |<i>y – z + t</i>|,
|<i>y</i>| > |<i>x – z + t</i>|,
|<i>z</i>| > |<i>x – y + t</i>|,
|<i>t</i>| > |<i>x – y + z</i>|
не имеет решений.
Натуральные числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> таковы, что каждое не превышает своего номера (<i>a<sub>k</sub> ≤ k</i>) и сумма всех чисел – чётное число. Доказать, что одна из сумм <i>a</i><sub>1</sub> ± <i>a</i><sub>2</sub> ± ... ± <i>a<sub>n</sub></i> равна нулю.
Дана последовательность...,<i>a</i><sub>-n</sub>,...,<i>a</i><sub>-1</sub>,<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>,...,<i>a</i><sub>n</sub>,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен${\frac{1}{4}}$суммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).