Задача
Дана последовательность...,a-n,...,a-1,a0,a1,...,an,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен${\frac{1}{4}}$суммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).
Решение
Пусть ai=aj для некоторых i<j . Докажем тогда, что ai+k=aj-k для
всех k – из этого будет следовать утверждение задачи.
Докажем это вначале для1
k j-i-1. Пусть число k из этого промежутка таково, что
величина |ai+k-aj-k| максимальна. Тогда4|ai+k-aj-k|=|ai+k-1+ai+k+1-aj-k-1-aj-k+1|
|ai+k-1-aj-k-1|+|ai+k+1-aj-k+1| 2|ai+k-aj-k| .
Следовательно, |ai+k-aj-k|=0. Поскольку мы выбрали разность
с максимальным модулем, то ai+k=aj-k для любого1 k j-i-1.
Теперь индукцией по k легко доказать, что ai+k=aj-k при всех k ,
поскольку из равенств ai-k+2=aj+k-2и ai-k+1=aj+k-1следует равенство ai-k+2=aj+k-2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь