Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» для 10 класса - сложность 1 с решениями

Найдите все пары  (<i>p, q</i>)  простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> выполнено неравенство  (<i>n</i> – 1)^<i>n</i>+1(<i>n</i> + 1)^<i>n</i>–1 < <i>n</i>^2<i>n</i>.

Известно, что <i>x, y</i> и <i>z</i> – целые числа и  <i>xy + yz + zx</i> = 1.  Докажите, что число  (1 + <i>x</i>²)(1 + <i>y</i>²)(1 + <i>z</i>²)  является квадратом натурального числа.

Делится ли число  21¹⁰ – 1  на 2200?

Верно ли, что если  <i>b > a + c</i> > 0,  то квадратное уравнение  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0   имеет два корня?

Известно, что разность кубов корней квадратного уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  равна 2011. Сколько корней имеет уравнение  <i>ax</i>² + 2<i>bx</i> + 4<i>c</i> = 0?

Известно, что при любом положительном значении<i> р </i>все корни уравнения (с переменной<i> x </i>)<i> ах²-</i>3<i>х+р = </i>0положительны. Докажите, что<i>а</i>= 0.

Графики функций  <i>у = х</i>² + <i>ах + b</i>  и  <i>у = х</i>² + <i>сх + d</i>  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  <i>а</i>⁵ + <i>d</i>⁶  и  <i>c</i>⁶ – <i>b</i>⁵.

<i>p</i>(<i>x</i>) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых <i>a</i> и <i>b</i> выполняется равенство:  <i>p</i>(<i>a</i>) – <i>p</i>(<i>b</i>) = 1.

Докажите, что <i>a</i> и <i>b</i> различаются на 1.

Найти все натуральные числа <i>x</i>, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа <i>x</i> можно вычесть одну и ту же цифру  <i>a</i> ≠ 0  (все цифры его не меньше <i>a</i>) и при этом получится  (<i>x</i> − <i>a</i>)².

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

Разделить  <i>a</i>^{2^<i>k</i>} – <i>b</i>^{2^<i>k</i>}  на  (<i>a + b</i>)(<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴)...(<i>a</i>^{2^<i>k</i>–1} + <i>b</i>^{2^<i>k</i>–1}).

Решите уравнение:  <i>x</i>(<i>x</i> + 1) = 2014·2015.

Найдите коэффициент при <i>x</i> у многочлена  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>)...(<i>x – z</i>).

Докажите следующие свойства функций <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) (определения функций <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">здесь</a>):

  а)  <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) = <img width="93" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61522/problem_61522_img_2.gif">,  где  <i>h_m</i>(<i>x</i>) = (1 – <i>x</i>)(1 – <i>x</i>²)...(1 – <i>x^m</i>)   (<i>h</i>₀(<i>x</i>) = 1)...

Вычислите функции <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) при  0 ≤ <i>k + l</i> ≤ 4  и покажите, что все они являются многочленами.

Определение многочленов Гаусса <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>.

Докажите равенство   (<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>u</i>² + <i>v</i>²) = (<i>au + bv</i>)² + (<i>av – bu</i>)².

Докажите, что для любого натурального <i>n</i>  6^2<i>n</i>+1 + 1  делится на 7.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i>  10^<i>n</i> + 18<i>n</i> – 1  делится на 27.

Найдите сумму всех коэффициентов многочлена  (<i>x</i>² – 3<i>x</i> + 1)¹⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения подобных членов.