Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 7 класса - сложность 1 с решениями

Коля и Вася за ноябрь получили по 15 оценок: тройки, четвёрки и пятёрки. При этом Коля получил пятёрок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, а троек столько же, сколько Вася пятёрок. Оказалось, что средний балл за ноябрь у мальчиков одинаковый. Сколько троек получил Коля в ноябре?

Купец продаёт двух коней с сёдлами, причём цена одного седла 120 рублей, а другого – 25 рублей. Первый конь с хорошим седлом втрое дороже другого с дешёвым, а другой конь с хорошим седлом вдвое дешевле первого коня с дешёвым. Какова цена каждого коня?

Карлсон написал дробь ¹⁰/₉₇. Малыш может:

  1) прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно,

  2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь,

  а) равную ½?  б) равную 1?

Решить уравнение  [<i>x</i>³] + [<i>x</i>²] + [<i>x</i>] = {<i>x</i>} − 1.

Сто человек ответили на вопрос: "Будет ли новый президент лучше прежнего?" Из них <i>a</i> человек считают, что будет лучше, <i>b</i> – что будет такой же, и <i>c</i> – что будет хуже. Социологи построили два показателя "оптимизма" опрошенных:  <i>m = a + ^b</i>/₂  и  <i>n = a – c</i>.  Оказалось, что  <i>m</i> = 40.  Найдите <i>n</i>.

Решить уравнение  <i>x</i>⁸ + 4<i>x</i>⁴ + <i>x</i>² + 1 = 0.

Расшифруйте ребус:    <img src="/storage/problem-media/88259/problem_88259_img_2.gif">

Найдите два числа, разность и частное которых были бы равны 5.

В одной американской фирме каждый служащий является либо демократом, либо республиканцем. После того как один из республиканцев решил стать демократом, тех и других в фирме стало поровну. Затем ещё три республиканца решили стать демократами, и тогда демократов стало вдвое больше чем республиканцев. Сколько служащих в этой фирме?

Найдите два числа, сумма, произведение и частное которых равны между собой.

Может ли сумма трёх различных натуральных чисел делиться на каждое из слагаемых?

Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой кошке досталось 5 галет, а каждой собаке  — 6. Сколько было собак и сколько кошек?

Во время стоянки между двумя рейсами матросу исполнилось 20 лет. По этому случаю в кают-компании собрались все шесть членов команды.

– Я вдвое старше юнги и на 6 лет старше машиниста, – сказал рулевой.

– А я на столько же старше юнги, на сколько моложе машиниста, – заметил боцман. – Кроме того, я на 4 года старше матроса.

– Средний возраст команды – 28 лет, – дал справку капитан.

Сколько лет капитану?

Расставьте в вершинах пятиугольника действительные числа так, чтобы сумма чисел на концах некоторой стороны была равна 1, на концах некоторой другой стороны была равна 2, ..., на концах последней стороны – равна 5.

КУВШИН=БУТЫЛКА+СТАКАН;

        ДВА КУВШИНА=СЕМЬ СТАКАНОВ;

        БУТЫЛКА=ЧАШКА+ДВА СТАКАНА;

        БУТЫЛКА=<i>сколько</i>ЧАШЕК?

В трёх ящиках лежат орехи. В первом ящике на 6 кг орехов меньше, чем в двух других вместе. А во втором – на 10 кг меньше, чем в двух других вместе. Сколько орехов в третьем ящике?

В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица стоит вдвое дороже маленькой. Одна дама купила 5 больших птиц и 3 маленьких, а другая – 5 маленьких и 3 больших. При этом первая дама заплатила на 20 рублей больше. Сколько стоит каждая птица?

Попробуйте разменять 25-рублёвую купюру одиннадцатью купюрами достоинством 1, 3 и 5 рублей.

При каких значениях <i>m</i> уравнения  <i>mx</i> – 1000 = 1001  и  1001<i>x = m</i> – 1000<i>x</i>  имеют общий корень?

Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.

Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?

Решите систему уравнений

    <i>x + y + u</i> = 4,

    <i>y + u + v</i> = –5,

    <i>u + v + x</i> = 0,

    <i>v + x + y</i> = –8.