Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические неравенства и системы неравенств» для 1-6 класса - сложность 3 с решениями
Алгебраические неравенства и системы неравенств
НазадНайдите все пары простых чисел <i>p</i> и <i>q</i>, обладающие следующим свойством: 7<i>p</i> + 1 делится на <i>q</i>, а 7<i>q</i> + 1 делится на <i>p</i>.
Последовательности положительных чисел (<i>x<sub>n</sub></i>) и (<i>y<sub>n</sub></i>) удовлетворяют условиям <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109842/problem_109842_img_2.gif"> при всех натуральных <i>n</i>. Докажите, что если все числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>y</i><sub>1</sub>, <i>y</i><sub>2</sub> больше 1, то <i>x<sub>n</sub> > y<sub>n</sub></i> при каком-нибудь натуральном <i>n</i>.
а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?
б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?
Докажите, что если <i>x + y + z ≥ xyz</i>, то <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ <i>xyz</i>.
<i>a, b, c, d</i> – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств
1) <i>a + b < c + d</i>;
2) (<i>a + b</i>)<i>cd < ab</i>(<i>c + d</i>);
3) (<i>a + b</i>)(<i>c + d</i>) < <i>ab + cd</i>
неверно.
Сумма положительных чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> равна ½. Докажите, что <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30908/problem_30908_img_2.gif">
Докажите, что <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30893/problem_30893_img_2.gif">.
Рассмотрим число <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30859/problem_30859_img_2.gif"> Докажите, что оно а) меньше <sup>1</sup>/<sub>10</sub>; б) меньше <sup>1</sup>/<sub>12</sub>; в) больше <sup>1</sup>/<sub>15</sub>.
Найдите наибольшее из чисел 5<sup>100</sup>, 6<sup>91</sup>, 7<sup>90</sup>, 8<sup>85</sup>.