Олимпиадные задачи по математике для 7-9 класса

Найдите все пары простых чисел <i>p</i> и <i>q</i>, обладающие следующим свойством:  7<i>p</i> + 1  делится на <i>q</i>, а  7<i>q</i> + 1  делится на <i>p</i>.

Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов.

Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.

Сравните числа   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116374/problem_116374_img_2.gif">

Кусок сыра массой 1 кг разрезали на $n\geqslant 4$ кусков массами меньше 600 г. Оказалось, что их нельзя разбить на две кучки так, чтобы масса каждой кучки была не меньше 400 г, но не больше 600 г (кучка может состоять из одного или нескольких кусков). Докажите, что найдутся три таких куска, что суммарная масса любых двух из них больше 600 г.

Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$?

Некоторые неотрицательные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют равенству $a+b+c=2\sqrt{abc}$. Докажите, что $bc\geqslant b+c$.

Докажите, что для любых различных натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо неравенство $|\sqrt[n]{m}-\sqrt[m]{n}|>\frac{1}{mn}$.

Существуют ли такое натуральное $n$ и такой многочлен $P(x)$ степени $n$, имеющий $n$ различных действительных корней, что при всех действительных $x$ выполнено равенство а) $P(x)P(x+1)=P(x^2)$; б) $P(x)P(x+1)=P(x^2+1)$?

Даны две непостоянные прогрессии (<i>a_n</i>) и (<i>b_n</i>), одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что  <i>a</i>₁ = <i>b</i>₁,  <i>a</i>₂ : <i>b</i>₂ = 2  и

<i>a</i>₄ : <i>b</i>₄ = 8.  Чему может быть равно отношение  <i>a</i>₃ : <i>b</i>₃?

Существует ли такое значение <i>x</i>, что выполняется равенство  arcsin²<i>x</i> + arccos²<i>x</i> = 1?