Олимпиадные задачи по математике для 8 класса
Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.
Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, противоположные стороны которого пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей <i>ABCD</i>.
Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Его противоположные стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Его диагонали пересекаются в точке <i>L</i>. Известно, что прямая <i>KL</i> проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>ABCD</i> – трапеция.
Окружность $\omega$ касается прямых $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Произвольная касательная к $\omega$ пересекает $a$ и $b$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Точки $X'$ и $Y'$ симметричны точкам $X$ и $Y$ относительно $A$ и $B$ соответственно. Найдите геометрическое место проекций центра окружности на $X'Y'$.
При каких $n$ можно замостить плоскость равными фигурами, ограниченными $n$ дугами окружностей?
Окружности $\omega_1$, $\omega_2$ с центрами $O_1$, $O_2$ соответственно лежат одна вне другой. На этих окружностях взяты точки $C_1$, $C_2$, лежащие по одну сторону от прямой $O_1O_2$. Луч $O_1C_1$ пересекает $\omega_2$ в точках $A_2$, $B_2$, а луч $O_2C_2$ пересекает $\omega_1$ в точках $A_1$, $B_1$. Докажите, что $\angle A_1O_1B_1=\angle A_2B_2C_2$ тогда и только тогда, когда $C_1C_2\parallel O_1O_2$.
Центр окружности ω<sub>2</sub> лежит на окружности ω<sub>1</sub>. Из точки <i>X</i> окружности ω<sub>1</sub> проведены касательные XP и XQ к окружности ω<sub>2</sub> (<i>P</i> и <i>Q</i> – точки касания), которые повторно пересекают ω<sub>1</sub> в точках <i>R</i> и <i>S</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через середину отрезка <i>RS</i>.
Точки <i>A', B', C'</i> лежат на сторонах <i>BC, CA, AB</i> треугольника <i>ABC</i>. Точка <i>X</i> такова, что ∠<i>AXB</i> = ∠<i>A'C'B'</i> + ∠<i>ACB</i> и ∠<i>BXC</i> = ∠<i>B'A'C'</i> + ∠<i>BAC</i>.
Докажите, что четырёхугольник <i>XA'BC'</i> – вписанный.
Две окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Точки <i>C</i> и <i>D</i>, лежащие соответственно на ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> по разные стороны от прямой <i>AB</i>, равноудалены от этой прямой. Докажите, что точки <i>C</i> и <i>D</i> равноудалены от середины отрезка <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub>.
На отрезке <i>AB</i> построена дуга α (см. рис.). Окружность ω касается отрезка <i>AB</i> в точке <i>T</i> и пересекает α в точках <i>C</i> и <i>D</i>. Лучи <i>AC</i> и <i>TD</i> пересекаются в точке <i>E</i>, лучи <i>BD</i> и <i>TC</i> – в точке <i>F</i>. Докажите, что прямые <i>EF</i> и <i>AB</i> параллельны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64390/problem_64390_img_2.png"></div>