Олимпиадные задачи по математике для 5-8 класса - сложность 3 с решениями

Команды провели турнир по футболу в один круг (каждая с каждой сыграла один раз, победа – 3 очка, ничья – 1, поражение – 0). Оказалось, что единоличный победитель набрал менее 50% от количества очков, возможного для одного участника. Какое наименьшее количество команд могло участвовать в турнире?

а) В футбольном турнире в один круг участвовало 75 команд. За победу в матче команда получала 3 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков. Известно, что каждые две команды набрали различное количество очков. Найдите наименьшую возможную разность очков у команд, занявших первое и последнее места.б) Тот же вопрос для <i>n</i> команд.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Оказалось, что описанная окружность треугольника <i>ABC</i>, касается стороны <i>CD</i>, а описанная окружность треугольника <i>ACD</i> касается стороны <i>AB</i>. Докажите, что диагональ <i>AC</i> меньше, чем расстояние между серединами сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>.

Легко разместить комплект кораблей для игры в "Морской бой" на доске 10× 10 (см. рис.). А на какой наименьшей квадратной доске можно разместить этот комплект? (Напомним, что согласно правилам корабли не должны соприкасаться даже углами.)

<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115384/problem_115384_img_2.gif"> </i></center>

Казино предлагает игру по таким правилам. Игрок ставит любое целое число долларов (но не больше, чем у него в этот момент есть) либо на орла, либо на решку. Затем подбрасывается монета. Если игрок угадал, как она упадёт, он получает назад свою ставку и столько же денег впридачу. Если не угадал — его ставку забирает казино. Если игроку не повезёт четыре раза подряд, казино присуждает ему в следующей игре утешительную победу вне зависимости от того, как упадёт монета. Джо пришёл в казино со 100 долларами. Он обязался сделать ровно пять ставок и ни разу не ставить больше 17 долларов. Какую наибольшую сумму денег он сможет гарантированно унести из казино после такой игры?

Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно четырёхугольника <i>ABCD</i>. Известно, что  <i>BC || AD</i>  и  <i>AN = CM</i>.

Верно ли, что <i>ABCD</i> – параллелограмм?

Окружность, проходящая через вершины <i>A, B</i> и точку пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> во внутренних точках.

Докажите, что  60° < ∠<i>C</i> < 90°.

В треугольнике <i>ABC</i> отмечены середины сторон <i>AC</i> и <i>BC</i> – точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Угол <i>MAN</i> равен 15°, а угол <i>BAN</i> равен 45°.

Найдите угол <i>ABM</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> взяты соответственно точки <i>C</i>₁ и <i>A</i>₁ так, что  <i>AC = A</i>₁<i>C = AC</i>₁.

Докажите, что описанные окружности треугольников <i>ABA</i>₁ и <i>CBC</i>₁ пересекаются на биссектрисе угла <i>B</i>.