Олимпиадные задачи по математике для 1-7 класса - сложность 2 с решениями
Первого числа некоторого месяца в магазине было 10 видов товаров по одинаковой цене за штуку. После этого каждый день каждый товар дорожает либо в 2 раза, либо в 3 раза. Первого числа следующего месяца все цены оказались различными. Докажите, что отношение максимальной цены к минимальной больше 27.
Докажите, что произведение 99 дробей <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98085/problem_98085_img_2.gif"> где <i>k</i> = 2, 3, ..., 100, больше ⅔.
В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.
Имеется <i>n</i> целых чисел (<i>n</i> > 1). Известно, что каждое из них отличается от произведения всех остальных на число, кратное <i>n</i>.
Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на <i>n</i>.
Найти шесть различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых делится на сумму этих двух чисел.
Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?