Олимпиадные задачи по математике - сложность 4 с решениями
На стороне<i> AB </i>треугольника<i> ABC </i>выбрана точка<i> D </i>. Окружность, описанная около треугольника<i> BCD </i>, пересекает сторону<i> AC </i>в точке<i> M </i>, а окружность, описанная около треугольника<i> ACD </i>, пересекает сторону<i> BC </i>в точке<i> N </i>(точки<i> M </i>и<i> N </i>отличны от точки<i> C </i>). Пусть<i> O </i>– центр описанной окружности треугольника<i> CMN </i>. Докажите, что прямая<i> OD </i>перпендикулярна стороне<i> AB </i>.
Окружности <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> пересекаются в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Через точку <i>A</i> окружности <i>S</i><sub>1</sub> проведены прямые <i>AM</i> и <i>AN</i>, пересекающие окружность <i>S</i><sub>2</sub> в точках <i>B</i> и <i>C</i>, а через точку <i>D</i> окружности <i>S</i><sub>2</sub> – прямые <i>DM</i> и <i>DN</i>, пересекающие <i>S</i><sub>1</sub> в точках <i>E</i> и <i>F</i>, причём точки <i>A, E, F</i> лежат по одну сторону от прямой <i>MN</i>,...
Дан треугольник<i> A</i>0<i>B</i>0<i>C</i>0. На отрезке<i> A</i>0<i>B</i>0отмечены точки<i> A</i>1,<i> A</i>2<i>, ,A<sub>n</sub> </i>, а на отрезке<i> B</i>0<i>C</i>0– точки<i> C</i>1,<i> C</i>2<i>, , C<sub>n</sub> </i>, причём все отрезки<i> A<sub>i</sub>C<sub>i+</sub></i>1(<i> i=</i>0<i>,</i>1<i>, n-</i>1), параллельны между собой и все отрезки<i> C<sub>i</sub>A<sub>i+</sub></i>1(<i> i=</i>0<i>,</i>1<i>, n-</i>1) – тоже. Отрезки<i> C</i>0<i>A</i>...
Окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2с центрами<i> O</i>1и<i> O</i>2пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>(см рис.). Луч<i> O</i>1<i>B </i>пересекает окружность<i> S</i>2в точке<i> F </i>, а луч<i> O</i>2<i>B </i>пересекает окружность<i> S</i>1в точке<i> E </i>. Прямая, проходящая через точку<i> B </i>параллельно прямой<i> EF </i>, вторично пересекает окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2в точках<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Докажите, что<i> MN=AE+AF </i>.
Дан четырёхугольник<i> ABCD </i>, в котором<i> AB=AD </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_2.gif"> ABC=<img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_2.gif"> ADC=</i>90<i><sup>o</sup> </i>. На сторонах<i> BC </i>и<i> CD </i>выбраны соответственно точки<i> F </i>и<i> E </i>так, что<i> DF <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_3.gif"> AE </i>. Докажите, что<i> AF <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_3.gif"> BE </i>.
Пусть окружность, вписанная в треугольник<i> ABC </i>, касается его сторон<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> AC </i>в точках<i> K </i>,<i> L </i>и<i> M </i>соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники<i> BKL </i>,<i> CLM </i>и<i> AKM </i>проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.