Олимпиадная задача по планиметрии для 8-10 классов от Сонкина М.: пересечение касательных к вписанным окружностям

1. Докажем сначала, что центры O_B , O_C и O_A окружностей S_B , S_C и S_A , вписанных в треугольники BKL , CLM и AKM соответственно, совпадают с серединами соответствующих дуг окружности S , вписанной в треугольник ABC .

   Действительно, пусть O_A' – середина меньшей дуги KM окружности S (рис.1). Тогда из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

   AKO_A' = KMO_A'= MKO_A'.

   Аналогично, AMO_A' = KMO_A' , значит, O_A' – точка пересечения биссектрис треугольника AKM . Следовательно, точки O_A' и O_A совпадают.

   Аналогично докажем, что O_B – середина меньшей дуги KL , a OС – середина меньшей дуги LM окружности S .

2. Докажем, что центр I окружности S лежит на общей касательной окружностей S_A и S_C , не совпадающей с прямой AC (рис.2).

   Из точки I проведём касательную IP к окружности S_A так, чтобы она пересекала меньшую дугу O_AM . Аналогичным образом проведём касательную IQ к окружности S_C .

   Биссектриса LI угла KLM делит дугу KM пополам, поэтому точки L , I и O_A лежат на одной прямой. Аналогично докажем, что точки M , I и O_C лежат на одной прямой.

   Положим KLM = 2α , KML = 2γ . По теореме о внешнем угле треугольника

   O_AIM = ILM + IML = α + γ.

   С другой стороны,

   O_AMI = O_AMK + O_CMK = ILK + IMK = α + γ = O_AIM.

   Значит, треугольник O0MI – равнобедренный, O_AI=A0M .

   Пусть D – середина KM . Тогда окружность S_A касается KM в точке D .

   Прямоугольные треугольники O_API и O_ADM равны по катету ( O_AP=O_AD как радиусы окружности S_A ) и гипотенузе ( O_AI =O_AM по доказанному). Поэтому

   O_AIP = O_AMD = O_AMK.

   но O_AIP = O_AMK= α = O_ALM , Следовательно, IP || LM .

   Аналогично, IQ || LM . Следовательно, точки Q , I , P лежат на одной прямой, параллельной LM .

Ответ задачи отсутствует