Олимпиадные задачи по математике для 6-7 класса - сложность 2 с решениями

Числа <i>a, b, c</i> таковы, что  <i>a</i>²(<i>b + c</i>) = <i>b</i>²(<i>a + c</i>) = 2008  и  <i>a ≠ b</i>.  Найдите значение выражения  <i>c</i>²(<i>a + b</i>).

В вершинах кубика написали числа от 1 до 8, а на каждом ребре – модуль разности чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано на ребрах?

Найдите все целые числа <i>x</i> и <i>y</i>, удовлетворяющие уравнению  <i>x</i>⁴ – 2<i>y</i>² = 1.

Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + 3<i>abc > c</i>³.

Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа <i>a, b, c, d</i>, для которых числа  <i>a</i>² + 2<i>cd + b</i>²  и  <i>c</i>² + 2<i>ab + d</i>²  являются полными квадратами.

В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.

Найдите последнее число.

Существуют ли три таких различных простых числа <i>p, q, r</i>, что  <i>p</i>² + <i>d</i>  делится на <i>qr,  q</i>² + <i>d</i>  делится на <i>rp,  r</i>² + <i>d</i>  делится на <i>pq</i>, если

  а)  <i>d</i> = 10,

  б)  <i>d</i> =11?

Существует ли такое число <i>n</i> , что числа

  а)  <i>n</i> – 96,  <i>n</i>,  <i>n</i> + 96;

  б)  <i>n</i> – 1996,  <i>n</i>,  <i>n</i> + 1996

простые? (Все простые числа считаем положительными.)

а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что сумма каждых трёх из них есть простое число?

б) Существуют ли пять таких различных натуральных чисел, что сумма каждых трёх из них есть простое число?