Олимпиадные задачи по математике - сложность 2-5 с решениями
Дан правильный треугольник<i> ABC </i>. Через вершину<i> B </i>проводится произвольная прямая<i> l </i>, а через точки<i> A </i>и<i> C </i>проводятся прямые, перпендикулярные прямой<i> l </i>, пересекающие её в точках<i> D </i>и<i> E </i>. Затем, если точки<i> D </i>и<i> E </i>различны, строятся правильные треугольники<i> DEP </i>и<i> DET </i>, лежащие по разные стороны от прямой<i> l </i>. Найдите геометрическое место точек<i> P </i>и<i> T </i>.
Если повернуть квадрат вокруг его центра на 45°, то стороны повёрнутого квадрата разобьют каждую сторону первоначального отрезка на три отрезка, длины которых относятся как <i>a</i> : <i>b</i> : <i>a</i> (эти отношения легко вычислить). Для произвольного выпуклого четырёхугольника сделаем аналогичное построение: разобьём каждую его сторону в тех же отношениях <i>a</i> : <i>b</i> : <i>a</i> и проведём прямую через каждые две точки деления, соседние с вершиной (лежащие на сходящейся к ней стороне). Докажите, что площадь четырёхугольника, ограниченного четырьмя построенными прямыми, равна площади исходного четырёхугольника.
В таблице
0 1 2 3 ... 9
9 0 1 2 ... 8
8 9 0 1 ... 7
...
1 2 3 4 ... 0
отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.
Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.
Двое играют в «крестики–нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй играющий каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). На рисунке изображена одна из позиций, которые могут возникнуть после третьего хода. Докажите, что как бы ни играл первый игрок, второй может его «запереть»: добиться того, чтобы первому было некуда поставить крестик. Исследуйте аналогичные игры, в которых второму разрешено за один ход ставить не три, а...
Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности.
Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями, (см. рис.) равны. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/55518/problem_55518_img_2.gif"></div>
Через две вершины треугольника проведены прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.
а) Могут ли площади всех четырёх частей быть равны?
б) Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них площадь четвёртой части?
На стороне <i>AB</i> квадрата <i>ABCD</i> взята точка <i>E</i>, а на стороне <i>CD</i> – точка <i>F</i>, причём <i>AE</i> : <i>EB</i> = 1 : 2, а <i>CF = FD</i>.
Будут ли голубой и зелёный треугольники (см. рис.) подобны? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/53889/problem_53889_img_2.gif"></div>