Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Пусть <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> – длины сторон <i>BC</i>, <i>AC</i>, <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i>, γ = ∠<i>C</i>. Докажите, что <i>c</i> ≥ (<i>a + b</i>) sin <sup>γ</sup>/<sub>2</sub>.
Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника продолжены до пересечения с продолжениями сторон.
Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.
Внутри угла расположены две окружности с центрами <i>A</i> и <i>B</i>. Они касаются друг друга и двух сторон угла.
Докажите, что окружность с диаметром <i>AB</i> касается сторон угла.
Внутри квадрата <i>ABCD</i> взята точка <i>M</i>. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников <i>ABM, BCM, CDM</i> и <i>DAM</i> образуют квадрат.
Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся) так, что их длины – 1, 2, 3, ... , 50, а их концы – все целые точки от 1 до 100 включительно?
<i>M</i> – множество точек на плоскости. Точка <i>O</i> называется "почти центром симметрии" множества <i>M</i>, если из <i>M</i> можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества <i>O</i> является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?
Пусть <i>P</i> и <i>Q</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> четырёхугольника <i>ABCD, M</i> и <i>N</i> – середины диагоналей <i>AC</i> и <i>BD</i>.
Докажите, что если <i>MN</i> и <i>PQ</i> перпендикулярны, то <i>BC = AD</i>.
Окружность <i>S</i><sub>2</sub> проходит через центр <i>O</i> окружности <i>S</i><sub>1</sub> и пересекает её в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>A</i> проведена касательная к окружности <i>S</i><sub>2</sub>. Точка <i>D</i> – вторая точка пересечения этой касательной с окружностью <i>S</i><sub>1</sub>. Докажите, что <i>AD = AB</i>.