Олимпиадные задачи по математике для 9 класса - сложность 2-4 с решениями
В каждой клетке таблицы, состоящей из 10 столбцов и <i>n</i> строк, записана цифра. Известно, что для каждой строки <i>A</i> и любых двух столбцов найдётся строка, отличающаяся от <i>A</i> ровно в этих двух столбцах. Докажите, что <i>n</i> ≥ 512.
Расстоянием между числами <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub><i>a</i><sub>4</sub><i>a</i><sub>5</sub></span> и <span style="text-decoration: overline;"><i>b</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>2</sub><i>b</i><sub>3</sub><i>b</i><sub>4</sub><i>b</i><sub>5</sub></span> назовём максимальное <i>i</i>, для которого <i>a<sub>i</sub></i> ≠ <i>b<sub>i</sub></i>. Все пятизначные числа выписаны друг...
На плоскости дано бесконечное множество точек<i> S </i>, при этом в любом квадрате1×1лежит конечное число точек из множества<i> S </i>. Докажите, что найдутся две разные точки<i> A </i>и<i> B </i>из<i> S </i>такие, что для любой другой точки<i> X </i>из<i> S </i>выполняются неравенства: <center><i>
|XA|,|XB|<img src="/storage/problem-media/110060/problem_110060_img_2.gif"> </i>0<i>,</i>999<i>|AB|. </i></center>
На прямой выбрано 100 множеств<i> A<sub>1</sub>, </i><i> A<sub>2</sub>, </i><i> .. , </i><i> A</i>100, каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств<i> A<sub>1</sub>, </i><i> A<sub>2</sub>, </i><i> .. , </i><i> A</i>100является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).
В стране <i>N</i> 1998 городов, и из каждого осуществляются беспосадочные перелеты в три других города (все авиарейсы двусторонние). Известно, что из каждого города, сделав несколько пересадок, можно долететь до любого другого. Министерство Безопасности хочет объявить закрытыми 200 городов, никакие два из которых не соединены авиалинией. Докажите, что это можно сделать так, чтобы можно было долететь из каждого незакрытого города в любой другой, не делая пересадок в закрытых городах.
На плоскости нарисовано некоторое семейство<i> S </i>правильных треугольников, получающихся друг из друга параллельными переносами, причем любые два треугольника пересекаются. Докажите, что найдутся три точки такие, что любой треугольник семейства<i> S </i>содержит хотя бы одну из них.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> > 2 число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109530/problem_109530_img_2.gif"> делится на 8.