Олимпиадные задачи из источника «2015-2016» для 1-8 класса - сложность 2-3 с решениями

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> равна 3. Докажите неравенство   ¹/_<i>a</i>³ + ¹/_<i>b</i>³ + ¹/_<i>c</i>³ + ¹/_<i>d</i>³ ≤ ¹/_{<i>a</i>³<i>b</i>³<i>c</i>³<i>d</i>³}.

Диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Точка <i>Q</i> выбрана на отрезке <i>BC</i> так, что  <i>PQ</i> ⊥ <i>AC</i>.

Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников <i>APD</i> и <i>BQD</i>, параллельна прямой <i>AD</i>.

В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?

Окружность ω вписана в треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>AB < AC</i>.  Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A'</i>. Точка <i>X</i> выбирается на отрезке <i>A'A</i> так, что отрезок <i>A'X</i> не пересекает ω. Касательные, проведённые из <i>X</i> к ω, пересекают отрезок <i>BC</i> в точках <i>Y</i> и <i>Z</i>. Докажите, что сумма  <i>XY + XZ</i>  не зависит от выбора точки <i>X</i>.

Квадрат разбит на  <i>n</i>² ≥ 4  прямоугольников  2(<i>n</i> – 1)  прямыми, из которых  <i>n</i> – 1  параллельны одной стороне квадрата, а остальные  <i>n</i> – 1  – другой. Докажите, что можно выбрать 2<i>n</i> прямоугольников разбиения таким образом, что для каждых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?

Из клетчатого бумажного квадрата 100×100 вырезали по границам клеток 1950 доминошек (двуклеточных прямоугольников). Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида <b>Т</b> – возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)

Саша выбрал натуральное число  <i>N</i> > 1  и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители:  <i>d</i>₁ < ... < <i>d_s</i>  (так что  <i>d</i>₁ = 1  и

<i>d_s</i> = <i>N</i>).  Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных  <i>s</i> – 1  чисел оказалась равной

<i>N</i> – 2.  Какие значения могло принимать <i>N</i>?

Окружность ω касается сторон угла <i>BAC</i> в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая <i>l</i> пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Окружность ω пересекает <i>l</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Точки <i>S</i> и <i>T</i> выбраны на отрезке <i>BC</i> так, что  <i>KS || AC</i>  и  <i>LT || AB</i>.  Докажите, что точки <i>P, Q, S</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.

У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера <i>a</i>×<i>b</i> дать либо ковёр размера ¹/_<i>a</i>×¹/_<i>b</i>, либо два ковра размеров <i>c</i>×<i>b</i> и  ^<i>a</i>/_<i>c</i>×<i>b</i>  (при каждом таком обмене число <i>c</i> клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента...

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество <i>A</i>, состоящее из натуральных чисел, <i> полным</i>, если для любых натуральных <i>a</i> и <i>b</i> (не обязательно различных и не обязательно лежащих в <i>A</i>), при которых  <i>a + b</i>  лежит в <i>A</i>, число <i>ab</i> также лежит в <i>A</i>. Найдите все полные множества натуральных чисел.