Олимпиадные задачи из источника «2013-2014» - сложность 2 с решениями

Натуральное число <i>n</i> назовём <i> хорошим</i>, если каждый его натуральный делитель, увеличенный на 1, является делителем числа  <i>n</i> + 1.

Найдите все хорошие натуральные числа.

Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных <i>x</i> верно неравенство   |cos <i>x</i>| + |cos α<i>x</i>| > sin <i>x</i> + sin α<i>x</i>?

Назовём натуральное число <i>хорошим</i>, если среди его делителей есть ровно два простых числа.

Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими?

К натуральному числу <i>N</i> прибавили наибольший его делитель, меньший <i>N</i>, и получили степень десятки. Найдите все такие <i>N</i>.

По кругу расставлены 99 натуральных чисел. Известно, что каждые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза.

Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

Числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что все три числа  <i>x + yz,  y + zx</i>  и  <i>z + xy</i>  рациональны, а  <i>x</i>² + <i>y</i>² = 1.  Докажите, что число <i>xyz</i>² также рационально.

На доске написано выражение  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64635/problem_64635_img_2.png">,  где <i>a, b, c, d, e, f</i> – натуральные числа. Если число <i>a</i> увеличить на 1, то значение этого выражения увеличится на 3. Если в исходном выражении увеличить число <i>c</i> на 1, то его значение увеличится на 4; если же в исходном выражении увеличить число <i>e</i> на 1, то его значение увеличится на 5. Какое наименьшее значение может иметь произведение <i>bdf</i>?

Дан выпуклый семиугольник. Выбираются четыре произвольных его угла и вычисляются их синусы, от остальных трёх углов вычисляются косинусы. Оказалось, что сумма таких семи чисел не зависит от изначального выбора четырёх углов. Докажите, что у этого семиугольника найдутся четыре равных угла.

На доске написано уравнение  <i>x</i>³ + *<i>x</i>² + *<i>x</i> + * = 0.  Петя и Вася по очереди заменяют звёздочки на рациональные числа: вначале Петя заменяет любую из звёздочек, потом Вася – любую из двух оставшихся, а затем Петя – оставшуюся звёздочку. Верно ли, что при любых действиях Васи Петя сможет получить уравнение, у которого разность каких-то двух корней равна 2014?

Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них – 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок – целое число.

Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз.

Число <i>x</i> таково, что среди четырёх чисел   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64622/problem_64622_img_2.gif">   ровно одно не является целым.

Найдите все такие <i>x</i>.

Учитель записал Пете в тетрадь четыре различных натуральных числа. Для каждой пары этих чисел Петя нашёл их наибольший общий делитель. У него получились шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и <i>N</i>, где  <i>N</i> > 5.  Какое наименьшее значение может иметь число <i>N</i>?

В четырёхугольнике <i>ABCD</i> стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> параллельны.

Докажите, что если биссектрисы углов <i>DAC, DBC, ACB</i> и <i>ADB</i> образовали ромб, то  <i>AB = CD</i>.

Даны 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500.

Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?