Олимпиадные задачи из источника «2008-2009» для 10 класса - сложность 3 с решениями

Числа <i>a, b</i> и <i>c</i> таковы, что  (<i>a + b</i>)(<i>b + c</i>)(<i>c + a</i>) = <i>abc</i>,  (<i>a</i>³ + <i>b</i>³)(<i>b</i>³ + <i>c</i>³)(<i>c</i>³ + <i>a</i>³) = <i>a</i>³<i>b</i>³<i>c</i>³.  Докажите, что  <i>abc</i> = 0.

По кругу стоят 100 напёрстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре напёрстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней напёрстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?

Дано натуральное  <i>n</i> > 1.  Число  <i>a > n</i>²  таково, что среди чисел  <i>a</i> + 1, <i>a</i> + 2, ..., <i>a + n</i>  есть кратные каждого из чисел  <i>n</i>² + 1, <i>n</i>² + 2, ..., <i>n</i>² + <i>n</i>.

Докажите, что  <i>a > n</i>⁴ – <i>n</i>³.

Даны натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i> из отрезка  [2, 100].  Докажите, что при некотором натуральном <i>n</i> число <i>x</i>^2<i>ⁿ</i> + <i>y</i>^2<i>ⁿ</i>  – составное.

В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006, но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более чем на <i>k</i>. При каком наименьшем <i>k</i> такое возможно?

Сколько раз функция   <i>f</i>(<i>x</i>) = cos <i>x</i> cos ^<i>x</i>/₂ cos ^<i>x</i>/₃ ... cos ^<i>x</i>/₂₀₀₉   меняет знак на отрезке  [0, ^2009π/₂] ?

Найдите все такие натуральные <i>n</i>, что при некоторых отличных от нуля действительных числах <i>a, b, c, d</i> многочлен  (<i>ax + b</i>)¹⁰⁰⁰ – (<i>cx + d</i>)¹⁰⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно <i>n</i> ненулевых коэффициентов.

В некоторых клетках доски 10×10 поставили <i>k</i> ладей, и затем отметили все клетки, которые бьёт хотя бы одна ладья (ладья бьёт и клетку, на которой стоит). При каком наибольшем <i>k</i> может оказаться, что после удаления с доски любой ладьи хотя бы одна отмеченная клетка окажется не под боем?

В стране некоторые пары городов соединены дорогами, которые не пересекаются вне городов. В каждом городе установлена табличка, на которой указана минимальная длина маршрута, выходящего из этого города и проходящего по всем остальным городам страны (маршрут может проходить по некоторым городам больше одного раза и не обязан возвращаться в исходный город). Докажите, что любые два числа на табличках отличаются не более чем в полтора раза.