Олимпиадные задачи из источника «9 Класс» для 9 класса
9 Класс
Назад300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два таких бюрократа из разных комиссий, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими.
Дан треугольник <i>ABC</i>, в котором <i>AB > BC</i>. Касательная к его описанной окружности в точке <i>B</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>P</i>. Точка <i>D</i> симметрична точке <i>B</i> относительно точки <i>P</i>, а точка <i>E</i> симметрична точке <i>C</i> относительно прямой <i>BP</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>ABED</i> – вписанный.
Дан квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>. Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>. Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.
Дано натуральное число <i>n</i> > 1. Для каждого делителя <i>d</i> числа <i>n</i> + 1, Петя разделил число <i>n</i> на <i>d</i> с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь – остаток. Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают.
Даны положительные рациональные числа <i>a, b</i>. Один из корней трёхчлена <i>x</i>² – <i>ax + b</i> – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид <sup><i>m</i></sup>/<sub><i>n</i></sub>. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел <i>a</i> и <i>b</i> (в несократимой записи) не меньше <i>n</i><sup>2/3</sup>.
Дан выпуклый шестиугольник <i>P</i><sub>1</sub><i>P</i><sub>2</sub><i>P</i><sub>3</sub><i>P</i><sub>4</sub><i>P</i><sub>5</sub><i>P</i><sub>6</sub>, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки обозначили через <i>Q</i><sub>1</sub>, <i>Q</i><sub>2</sub>, <i>Q</i><sub>3</sub>, <i>Q</i><sub>4</sub>, <i>Q</i><sub>5</sub> и <i>Q</i><sub>6</sub> соответственно. Докажите, что треугольники <i>Q</i><su...
В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.
Числа <i>a, b, c</i> таковы, что <i>a</i>²(<i>b + c</i>) = <i>b</i>²(<i>a + c</i>) = 2008 и <i>a ≠ b</i>. Найдите значение выражения <i>c</i>²(<i>a + b</i>).