Олимпиадные задачи из источника «2004-2005» для 1-8 класса - сложность 3 с решениями

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>B'</i> и <i>C'</i> симметричны соответственно вершинам <i>B</i> и <i>C</i> относительно прямых <i>AC</i> и <i>AB</i>. Пусть <i>P</i> – точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABB'</i> и <i>ACC'</i>, отличная от <i>A</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на прямой <i>PA</i>.

Каждую вершину трапеции отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину.

Докажите, что если получившиеся точки образуют четырёхугольник, то он также является трапецией.

В треугольнике <i>ABC</i>  (<i> AB < BC</i>)  точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>M</i> – середина стороны <i>AC, N</i> – середина дуги <i> ABC </i> описанной окружности.

Докажите, что  ∠<i>IMA</i> = ∠<i>INB</i>.

Найдите все такие пары  (<i>a, b</i>)  натуральных чисел, что при любом натуральном <i>n</i> число  <i>aⁿ + bⁿ</i>  является точной (<i>n</i>+1)-й степенью.

Известно, что существует число<i> S </i>, такое, что если<i> a+b+c+d=S </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_4.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_5.gif">=S </i>(<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>,<i> d </i>отличны от нуля и единицы), то<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_6.gif">+ <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_7.gif">+ <img src="/storage/problem-media/11017...

Сумма чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, каждое из которых больше единицы, равна <i>S</i>, причём   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109832/problem_109832_img_2.gif">   для любого  <i>i</i> = 1, 2, 3.

Докажите, что   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109832/problem_109832_img_3.gif">

Леша поставил в клетки таблицы 22×22 натуральные числа от 1 до 22².

Верно ли, что Олег может выбрать такие две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4?

В некоторые 16 клеток доски 8×8 поставили по ладье. Какое наименьшее количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться?

В таблице 2×<i>n</i> расставлены положительные числа так, что в каждом из <i>n</i> столбцов сумма двух чисел равна 1.

Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила  ^<i>n</i>+1/₄.

Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109823/problem_109823_img_2.gif"> ,   где <i>a, b, c, d</i> – натуральные числа.

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>  (<i>AB < BC</i>).  Докажите, что описанные окружности треугольников <i>APQ</i> для всевозможных точек <i>P</i> и <i>Q</i>, выбранных на сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно так, что  <i>CP = CQ</i>,  имеют общую точку, отличную от <i>A</i>.