Олимпиадные задачи из источника «2003-2004» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
2003-2004
НазадПоложительные числа <i>x, y, z</i> таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.
Докажите, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_2.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_3.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_4.gif"> > <i>x + y + z</i>.
В клетки таблицы 100×100 записаны ненулевые цифры. Оказалось, что все 100 стозначных чисел, записанных по горизонтали, делятся на 11. Могло ли так оказаться, что ровно 99 стозначных чисел, записанных по вертикали, также делятся на 11?
Уравнение <i>x<sup>n</sup> + a</i><sub>1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x + a<sub>n</sub></i> = 0 с целыми ненулевыми коэффициентами имеет <i>n</i> различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub> и <i>a<sub>n</sub></i> взаимно просты.
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна <sup>π</sup>/<sub>2</sub>. Докажите, что cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.
Пусть многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub>0</sub> имеет хотя бы один действительный корень и <i>a</i><sub>0</sub> ≠ 0. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи <i>P</i>(<i>x</i>), можно получить из него число <i>a</i><sub>0</sub> так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.
В языке жителей Банановой Республики количество слов превышает количество букв в их алфавите. Докажите, что найдется такое натуральное<i> k </i>, для которого можно выбрать<i> k </i>различных слов, в записи которых используется ровно<i> k </i>различных букв.
Существуют ли такие попарно различные натуральные числа <i>m, n, p, q</i>, что <i>m + n = p + q</i> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109812/problem_109812_img_2.gif">
Последовательность неотрицательных рациональных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... удовлетворяет соотношению <i>a<sub>m</sub> + a<sub>n</sub> = a<sub>mn</sub></i> при любых натуральных <i>m, n</i>.
Докажите, что не все её члены различны.
На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков – белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какую-нибудь коробочку, в которой лежит белый шарик?
Пусть <i>I<sub>A</sub></i> и <i>I<sub>B</sub></i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> соответственно, а <i>P</i> – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников <i>I<sub>A</sub>CP</i> и <i>I<sub>B</sub>CP</i>, совпадает с центром окружности Ω.
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>M</i>, а внутри треугольника <i>AMD</i> точка <i>N</i>, причём ∠<i>MNA</i> + ∠<i> MCB</i> = ∠<i>MND</i> + ∠<i>MBC</i> = 180°.
Докажите, что прямые <i>MN</i> и <i>AB</i> параллельны.