Олимпиадная задача по теории чисел: делимость стозначных чисел в таблице 100×100
Задача
В клетки таблицы 100×100 записаны ненулевые цифры. Оказалось, что все 100 стозначных чисел, записанных по горизонтали, делятся на 11. Могло ли так оказаться, что ровно 99 стозначных чисел, записанных по вертикали, также делятся на 11?
Решение
Предположим, что требуемая расстановка цифр возможна.
Рассмотрим шахматную раскраску клеток нашей таблицы. Согласно признаку делимости на 11 в каждой строке сумма цифр, стоящих на чёрных клетках, имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на белых клетках. Значит, и во всей таблице сумма цифр, стоящих на чёрных клетках, имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на белых клетках.
Рассмотрим теперь 99 столбцов, в которых получились делящиеся на 11 числа. Для клеток этих столбцов аналогично получаем, что сумма цифр, стоящих на чёрных клетках, имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на белых клетках.
Но тогда и в оставшемся столбце сумма цифр, стоящих на чёрных клетках, имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на белых клетках. Следовательно, это число кратно 11.
Ответ
Не могло.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь