Олимпиадные задачи из источника «2000-2001» - сложность 2 с решениями

Можно ли клетки доски 5×5 покрасить в 4 цвета так, чтобы клетки, стоящие на пересечении любых двух строк и любых двух столбцов, были покрашены не менее чем в три цвета?

Пусть <i>a, b, c, d, e</i> и <i>f</i> – некоторые числа, причём  <i>ace</i> ≠ 0.  Известно, что значения выражений  |<i>ax + b</i>| + |<i>cx + d</i>|  и  |<i>ex + f</i> |  равны при всех значениях <i>x</i>.

Докажите, что  <i>ad = bc</i>.

<i> N </i>цифр – единицы и двойки – расположены по кругу. Изображенным назовем число, образуемое несколькими цифрами, расположенными подряд (по часовой стрелке или против часовой стрелки). При каком наименьшем значении<i> N </i>все четырехзначные числа, запись которых содержит только цифры 1 и 2, могут оказаться среди изображенных?

Приведённый квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  имеет три различных корня, а уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))) = 0  – семь различных корней?

Найдите все такие простые числа <i>p</i> и <i>q</i> , что  <i>p + q</i> = (<i>p – q</i>)³.