Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями
В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более <i>N</i> различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на 2<i>N</i> + 2 республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.
По данному натуральному числу <i>a</i><sub>0</sub> строится последовательность {<i>a<sub>n</sub></i>} следующим образом <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110036/problem_110036_img_2.gif"> если <i>a<sub>n</sub></i> нечётно, и <sup><i>a</i><sub>0</sub></sup>/<sub>2</sub>, если <i>a<sub>n</sub></i> чётно. Докажите, что при любом нечётном <i>a</i><sub>0</sub> > 5 в последовательности {<i>a<sub>n</sub></i>} встретятся сколь угодно большие числа.
Существует ли функция<i> f</i>(<i>x</i>), определенная при всех<i> x<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>и для всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>удовлетворяющая неравенству <center><i>
|f</i>(<i>x+y</i>)<i>+ sin x+ sin y|<</i>2<i>? </i></center>
Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров радиуса 1 можно целиком покрыть этот цилиндр?
Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>10</sub>, что уравнение
(<i>x – a</i><sub>1</sub>)(<i>x – a</i><sub>2</sub>)...(<i>x – a</i><sub>10</sub>) = (<i>x + a</i><sub>1</sub>)(<i>x + a</i><sub>2</sub>)...(<i>x + a</i><sub>10</sub>) будет иметь ровно пять различных действительных корней.
Окружность с центром <i>O</i>, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается стороны <i>AC</i> в точке <i>K</i>. Вторая окружность, также с центром <i>O</i>, пересекает все стороны треугольника <i>ABC</i>. Пусть <i>E</i> и <i>F</i> – её точки пересечения со сторонами соответственно <i>AB</i> и <i>BC</i>, ближайшие к вершине <i>B; B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> – точки её пересечения со стороной <i>AC, B</i><sub>1</sub> – ближе к <i>A</i>. Докажите, что точки <i>B, K</i> и точка <i>P</i> пересечения отрезков <i>B</i><sub>2</sub><i...
На стороне<i> AB </i>треугольника<i> ABC </i>выбрана точка<i> D </i>. Окружность, описанная около треугольника<i> BCD </i>, пересекает сторону<i> AC </i>в точке<i> M </i>, а окружность, описанная около треугольника<i> ACD </i>, пересекает сторону<i> BC </i>в точке<i> N </i>(точки<i> M </i>и<i> N </i>отличны от точки<i> C </i>). Пусть<i> O </i>– центр описанной окружности треугольника<i> CMN </i>. Докажите, что прямая<i> OD </i>перпендикулярна стороне<i> AB </i>.
Биссектрисы <i>AD</i> и <i>CE</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Прямая, симметричная <i>AB</i> относительно <i>CE</i>, пересекает прямую, симметричную <i>BC</i> относительно <i>AD</i>, в точке <i>K</i>. Докажите, что <i>KO</i> ⊥ <i>AC</i>.