Олимпиадные задачи из источника «1995-1996» для 5-8 класса - сложность 4 с решениями

Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?

На прямой через равные промежутки отмечены 1996 точек. Петя раскрашивает половину из них в красный цвет, а остальные – в синий. Затем Вася разбивает их на пары красная-синяя так, чтобы сумма расстояний между точками в парах была максимальной. Докажите, что этот максимум не зависит от того, какую раскраску сделал Петя.

Можно ли прямоугольник $5 \times 7$ покрыть уголками из трёх клеток (т.е. фигурками, которые получаются из квадрата $2 \times 2$ удалением одной клетки), не выходящими за его пределы, в несколько слоёв так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одинаковым числом клеток, принадлежащих уголкам?

В Думе 1600 депутатов, которые образовали 16000 комитетов по 80 человек в каждом.

Докажите, что найдутся два комитета, имеющие не менее четырёх общих членов.

Найдите все такие натуральные <i>n</i>, что при некоторых взаимно простых <i>x</i> и <i>y</i> и натуральном  <i>k</i> > 1,  выполняется равенство  3<i>ⁿ = x^k + y^k</i>.

Дан треугольник<i> A</i>0<i>B</i>0<i>C</i>0. На отрезке<i> A</i>0<i>B</i>0отмечены точки<i> A</i>1,<i> A</i>2<i>, ,A_n </i>, а на отрезке<i> B</i>0<i>C</i>0– точки<i> C</i>1,<i> C</i>2<i>, , C_n </i>, причём все отрезки<i> A_iC_i+</i>1(<i> i=</i>0<i>,</i>1<i>, n-</i>1), параллельны между собой и все отрезки<i> C_iA_i+</i>1(<i> i=</i>0<i>,</i>1<i>, n-</i>1) – тоже. Отрезки<i> C</i>0<i>A</i>...