Олимпиадные задачи из источника «1993-1994» - сложность 4 с решениями
1993-1994
НазадВнутри круга расположены точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, ..., <i>A<sub>n</sub></i>, а на его границе – точки <i>B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, ..., <i>B<sub>n</sub></i> так, что отрезки <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>, ..., <i>A<sub>n</sub>B<sub>n</sub></i> не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки <i>A<sub>i</sub></i> в точку <i>A<sub>j</sub></i>, если отрезок <i>A<sub>...
На боковых ребрах<i> SA </i>,<i> SB </i>и<i> SC </i>правильной треугольной пирамиды<i> SABC </i>взяты соответственно точки<i> A<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>1</sub> </i>и<i> C<sub>1</sub> </i>так, что плоскости<i> A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> </i>и<i> ABC </i>параллельны. Пусть<i> O </i>– центр сферы, проходящей через точки<i> S </i>,<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C<sub>1</sub> </i>. Докажите, что прямая<i> SO </i>перпендикулярна плоскости<i> A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C </i>.
На прямой отмечены<i> n </i>различных синих точек и<i> n </i>различных красных точек. Докажите, что сумма попарных расстояний между точками одного цвета не превосходит суммы попарных расстояний между точками разного цвета.
На столе лежат три кучки спичек. В первой кучке находится 100 спичек, во второй – 200, а в третьей – 300. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди, за один ход игрок должен убрать одну из кучек, а любую из оставшихся разделить на две непустые части. Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?
В классе 30 учеников, и у каждого из них одинаковое число друзей среди одноклассников. Каково наибольшее возможное число учеников, которые учатся лучше большинства своих друзей? (Про любых двух учеников в классе можно сказать, кто из них учится лучше; если <i>A</i> учится лучше <i>B</i>, а тот – лучше <i>C</i>, то <i>A</i> учится лучше <i>C</i>.)
Игроки <i>A</i> и <i>B</i> по очереди ходят конем на шахматной доске 1994×1994. Игрок <i>A</i> может делать только горизонтальные ходы, то есть такие, при которых конь перемещается на соседнюю горизонталь. Игроку <i>B</i> разрешены только вертикальные ходы, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Игрок <i>A</i> ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. При этом каждому игроку запрещено ставить коня на то поле, на котором он уже побывал в данной игре. Проигравшим считается игрок, которому некуда ходить. Докажите, что для игрока <i>A</i> существует выигрышная стратегия.
Высоты <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> и <i>DD</i><sub>1</sub> тетраэдра <i>ABCD</i> пересекаются в центре <i>H</i> сферы, вписанной в тетраэдр <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub>.
Докажите, что тетраэдр <i>ABCD</i> – правильный.
Каждая из окружностей<i> S</i>1,<i> S</i>2и<i> S</i>3касается внешним образом окружности<i> S </i>(в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно) и двух сторон треугольника<i> ABC </i>(см.рис.). Докажите, что прямые<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1пересекаются в одной точке.
Пусть<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>– стороны треугольника,<i> m<sub>a</sub> </i>,<i> m<sub>b</sub> </i>и<i> m<sub>c</sub> </i>– медианы, проведённые к этим сторонам,<i> D </i>– диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что <center><i>
<img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_2.gif"> + <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_3.gif">+ <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_4.gif"> <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_5.gif"> </i>6<i>D.
</i></center>