Олимпиадные задачи из источника «06 (1983)»

Две окружности пересекаются прямой <i>l</i>, как указано на рисунке. Докажите, что угол  ∠<i>ABC</i> = ∠<i>DEM</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/32034/problem_32034_img_2.gif"></div>

На центральном телеграфе стоят разменные автоматы, которые меняют 20 коп. на 15, 2, 2 и 1; 15 коп. на 10, 2, 2 и 1; 10 коп. на 3, 3, 2 и 2. Петя разменял 1 руб. 25 коп. серебром на медь. Вася, посмотрев на результат, сказал: "Я точно знаю, какие у тебя были монеты" и назвал их. Назовите и вы.

На плоскости имеется 1983 точки и окружность единичного радиуса.

Доказать, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до данных точек не меньше 1983.

В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, ... . Под каждым числом этого ряда записана его сумма цифр.

  а) На каком месте во втором ряду впервые встретится число 81?

  б) Что встретится раньше: четыре раза подряд число 27 или один раз число 36?

Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984! ?

Какое наибольшее число пешек можно поставить на шахматную доску (не более одной пешки на каждое поле), если:

  1) на поле e4 пешку ставить нельзя;

  2) никакие две пешки не могут стоять на полях, симметричных относительно поля e4?

Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число <i>m</i> хорошее, то и число  <i>m</i> + 6  тоже хорошее, а если число <i>n</i> плохое, то и число  <i>n</i> + 15  тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?