Олимпиадные задачи из источника «9 турнир (1987/1988 год)» для 11 класса - сложность 2-4 с решениями

Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B". Первое слово в последовательности – "A", <i>k</i>-е слово получается из (<i>k</i>–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...

  а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?

  б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.

Куб 20×20×20 составлен из 2000 кирпичей размером 2×2×1.

Докажите, что его можно проткнуть иглой так, чтобы игла прошла через две противоположные грани и не уткнулась в кирпич.

В окружность вписаны две равнобочные трапеции так, что каждая сторона одной трапеции параллельна некоторой стороне другой.

Докажите, что диагонали одной трапеции равны диагоналям другой.

Можно ли подобрать четыре непрозрачных попарно непересекающихся шара так, чтобы ими можно было загородить точечный источник света?

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.

Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.