Олимпиадные задачи из источника «9 турнир (1987/1988 год)» для 10 класса - сложность 3-5 с решениями

Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B". Первое слово в последовательности – "A", <i>k</i>-е слово получается из (<i>k</i>–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...

  а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?

  б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.

<i>P</i>(<i>х</i>) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что числа 1 и 2 являются его корнями. Докажите, что найдётся коэффициент, который меньше –1.

Прямой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороной единица. Будем рассматривать ряды клеток, параллельные сторонам угла (<i>вертикальные</i> и <i>горизонтальные</i> ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд клеток содержал все натуральные числа по одному разу?

Можно ли покрыть плоскость окружностями так, чтобы через каждую точку проходило ровно 1988 окружностей?

Можно ли подобрать четыре непрозрачных попарно непересекающихся шара так, чтобы ими можно было загородить точечный источник света?