Олимпиадная задача: Заполнение квадратных клеток числами в прямом угле (8-10 класс)
Задача
Прямой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороной единица. Будем рассматривать ряды клеток, параллельные сторонам угла (вертикальные и горизонтальные ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд клеток содержал все натуральные числа по одному разу?
Решение
Решение 1: Первую строку заполним числами по порядку. Каждую следующую строку заполняем слева направо по следующему правилу: в очередную клетку ставим наименьшее допустимое число (то есть не совпадающее с уже поставленными под ним и слева от него числами).
Докажем, что число n появится в k-м столбце. Действительного, его появлению может препятствовать только то, что во всех строчках, кроме тех, где в этом столбце стоят меньшие числа, n встречается левее k-го места. Но это невозможно: в первых k – 1 столбцах n встречается не более k – 1 раз. Ситуация со строками аналогична.
Решение 2: Для знатоков. Введём на N операцию ⊕, превращающую N в группу (например, осуществив биекцию с Z). В клетку с "координатами" (a, b) поместим число a ⊕ b.
Ответ
Можно.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь