Назад

Олимпиадная задача: Найдите коэффициент многочлена с целыми коэффициентами

Задача 197973 • Сложность: 3 • 8-10 класс
Задача

P(х) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что числа 1 и 2 являются его корнями. Докажите, что найдётся коэффициент, который меньше –1.

Авторы:
Фольклор
Разделы:
Системы счисления Многочлены
Источники:
Турнир городов 9 турнир (1987/1988 год) весенний тур, основной вариант, 9-10 класс Олимпиады и турниры
Количество версий:
2
Решение

  Пусть  P(x) = anxn + ... + a1x + a0.  Тогда  0 = an + ... + a1 + a0,  0 = 2nan + ... + 2a1 + a0.

  Перенесём в этих равенствах все члены с отрицательными коэффициентами в левую часть. Если все  ai ≥ –1,  получаем противоречие с замечанием к задаче 197967:  |ai|  – количества гирь веса 2i на соответствующей чашке, на левой чашке все гири разные, их столько же, сколько и на правой, однако наборы гирь даже не пересекаются.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет