Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, 9-10 класс» - сложность 2-3 с решениями

В параллелограмме <i>ABCD</i>, не являющемся ромбом, проведена биссектриса угла <i>BAD</i>. <i>K</i> и <i>L</i> – точки её пересечения с прямыми <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки <i>C</i>, <i>K</i> и <i>L</i>, лежит на окружности, проведённой через точки <i>B</i>, <i>C</i> и <i>D</i>.

Дана невозрастающая последовательность неотрицательных чисел  <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ <i>a</i>₃ ≥ ... ≥ <i>a</i>_2<i>k</i>+1 ≥ 0.

Докажите неравенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97905/problem_97905_img_2.gif">

Функция <i>F</i> задана на всей вещественной оси, причём для любого <i>x</i> имеет место равенство:  <i>F</i>(<i>x</i> + 1)<i>F</i>(<i>x</i>) + <i>F</i>(<i>x</i> + 1) + 1 = 0.

Докажите, что функция <i>F</i> не может быть непрерывной.

На ребрах произвольного тетраэдра указали направления. Может ли сумма полученных таким образом шести векторов оказаться равной нуль-вектору?

При каком натуральном <i>K</i> величина   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97900/problem_97900_img_2.gif">   достигает максимального значения?

20 футбольных команд проводят первенство. В первый день все команды сыграли по одной игре. Во второй также все команды сыграли по одной игре.

Докажите, что после второго дня можно указать такие 10 команд, что никакие две из них не играли друг с другом.