Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс» для 2-10 класса

В Чикаго живут 36 гангстеров, некоторые из которых враждуют между собой. Каждый гангстер состоит в нескольких бандах, причём нет двух банд с совпадающим составом. Оказалось, что гангстеры, состоящие в одной банде, не враждуют, но если гангстер не состоит в какой-то банде, то он враждует хотя бы с одним её участником. Какое наибольшее число банд могло быть в Чикаго?

При каких натуральных <i>n</i> для каждого целого  <i>k ≥ n</i>  найдётся кратное <i>n</i> число с суммой цифр <i>k</i>?

В треугольнике <i>ABC</i> c углом <i>A</i>, равным 45°, проведена медиана <i>AM</i>. Прямая <i>b</i> симметрична прямой <i>AM</i> относительно высоты <i>BB</i>₁, а прямая <i>c</i> симметрична прямой <i>AM</i> относительно высоты <i>CC</i>₁. Прямые <i>b</i> и <i>c</i> пересеклись в точке <i>X</i>. Докажите, что  <i>AX = BC</i>.

Петя раскрасил каждую клетку квадрата 1000×1000 в один из 10 цветов. Также он придумал такой 10-клеточный многоугольник Ф, что при любом способе положить его по границам клеток на раскрашенный квадрат, все 10 накрытых им клеток будут разного цвета. Обязательно ли Ф – прямоугольник?

Вася утверждает, что он разрезал выпуклый многогранник, у которого есть лишь треугольные и шестиугольные грани, на две части и склеил из этих частей куб. Могут ли слова Васи быть правдой?

Дан треугольник и 10 прямых. Оказалось, что каждая прямая равноудалена от каких-то двух вершин треугольника.

Докажите, что или две из этих прямых параллельны, или три из них пересекаются в одной точке.

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: <i>a</i>₁ – сумма исходных чисел, <i>a</i>₂ – сумма квадратов исходных чисел, <i>a</i>₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.

  а) Могло ли случиться, что до <i>a</i>₅ последовательность убывает  (<i>a</i>₁ > <i>a</i>₂ > <i>a</i>₃ > <i>a</i>₄ > <i>a</i>₅),  а начиная с <i>a</i>₅ – возрастает  (<i>a</i>₅ < <i>a...