Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс» - сложность 2-5 с решениями

а) На каждой стороне десятиугольника (не обязательно выпуклого) как на диаметре построили окружность. Может ли оказаться, что все эти окружности имеют общую точку, не совпадающую ни с одной вершиной десятиугольника?

б) Решите ту же задачу для одиннадцатиугольника.

В ряд стоят 100 детей разного роста. Разрешается выбрать любых 50 детей, стоящих подряд, и переставить их между собой как угодно (остальные остаются на своих местах). Как всего за шесть таких перестановок гарантированно построить всех детей по убыванию роста слева направо?

Из вершины <i>A</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> по биссектрисе угла <i>A</i> выпустили бильярдный шарик, который отразился от стороны <i>BC</i> по закону "угол падения равен углу отражения" и дальше катился по прямой, уже ни от чего не отражаясь. Докажите, что если  ∠<i>A</i> = 60°,  то траектория шарика проходит через центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что на графике любого квадратного трёхчлена со старшим коэффициентом 1, имеющего ровно один корень, найдётся такая точка  (<i>p, q</i>),  что трёхчлен  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  также имеет ровно один корень.

Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается (в десятичной записи) на 2016 и делится на 2017.