Олимпиадная задача Гальперина по планиметрии и стереометрии: пятиугольник в сечении куба
Задача
Некоторый куб рассекли плоскостью так, что в сечении получился пятиугольник.
Докажите, что длина одной из сторон этого пятиугольника отличается от 1 метра по крайней мере на 20 сантиметров.
Решение
Стороны пятиугольника лежат в пяти гранях куба. Среди этих пяти граней есть две пары параллельных. Поэтому параллельны и соответствующие стороны пятиугольника. Это значит, что пятиугольник получается из некоторого параллелограмма ABCD срезанием одного из его углов (например, отрезанием треугольника DEF).
Предположим, что длины всех сторон пятиугольника находятся в пределах от 80 до 120 см. Тогда то же верно и для параллелограмма ABCD. Поэтому длины отрезков ED и DF не превышают 40 см. Это, однако, противоречит неравенству треугольника: ED + DF ≤ 80 ≤ EF.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь