Минимум измерений для проверки связности решётки в задаче Шаповалова А.В.

  а) См. задачу 98596 а).   б) То, что 31 измерения недостаточно доказано в решении задачи 98596.

  Укажем два способа, при которых достаточно 32 измерений.  Первый способ. Последовательность из 32 измерений строится аналогично решению задачи 98596 б), но требуется уже пять шагов. Узлы, проверяемые в одном измерении, обозначены одинаковыми буквами.

  На пятом шаге проверяем пары оставшихся узлов, симметричные относительно горизонтальной средней линии.   На первом шаге все проверенные узлы принадлежат одной компоненте благодаря теореме опересечении ломаных. На следующих трёх шагах линия тока обязана пройти через один из узлов, принадлежащих компоненте, поскольку один из проверяемых узлов оказывается окруженным ранее проверенными узлами.   Второй способ. "Линия тока"  A–A  соединяет боковые стороны решётки и по теореме о пересечении ломаных пересекается с линиями  B–B,  C–C,  ...,  H–H.  Таким образом, все узлы, помеченные буквами от A до H, принадлежат одной компоненте.

  Остальные пары проверяемых узлов расположим, как во второй горизонтали: расстояние между узлами одной пары равно 4 (половине ширины решётки). Докажем, что все эти узлы (напримерK) также принадлежат этой компоненте. "Линия тока"  K–K  содержит единичный отрезок, пересекающий вертикальную ось симметрии решётки (см. рис.). Если этот отрезок лежит на верхней или нижней горизонтали, то все доказано. В противном случае пусть концы этого отрезка – узлыXиY. "Парные" к ним узлы находятся на левой и правой сторонах доски. Согласно той же теореме "линия тока"  Y–Y–X–X  (соединяющая боковые стороны доски) пересекает линию  A–A  (которая соединяет вернюю сторону с нижней).

а) За 8 измерений;  б) за 32 измерения.