Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» - сложность 3 с решениями

В ряд стоят 23 коробочки с шариками, причём для каждого числа <i>n</i> от 1 до 23 есть коробочка, в которой ровно <i>n</i> шариков. За одну операцию можно переложить в любую коробочку еще столько же шариков, сколько в ней уже есть, из какой-нибудь другой коробочки, в которой шариков больше. Всегда ли можно такими операциями добиться, чтобы в первой коробочке оказался 1 шарик, во второй – 2 шарика, ..., в 23-й – 23 шарика?

Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального <i>n</i> в <i>n</i>-м члене подчёркнутые цифры образовали число <i>n</i>). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.

Пусть <i>F</i>₁, <i>F</i>₂, <i>F</i>₃, ... – последовательность выпуклых четырёхугольников, где <i>F</i>_<i>k</i>+1  (при <i>k</i> = 1, 2, 3, ...)  получается так: <i>F_k</i> разрезают по диагонали, одну из частей переворачивают и склеивают по линии разреза с другой частью. Какое наибольшее количество различных четырёхугольников может содержать эта последовательность? (Различными считаются многоугольники, которые нельзя совместить движением.)

Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 64 так, что соседние номера стоят в соседних (по стороне) клетках.

Какова наименьшая возможная сумма номеров на диагонали?

Существуют ли такие натуральные числа  <i>a</i>₁ < <i>a</i>₂ < <i>a</i>₃ < ... < <i>a</i>₁₀₀,  что  НОК(<i>a</i>₁, <i>a</i>₂) > НОК(<i>a</i>₂, <i>a</i>₃) > ... > НОК(<i>a</i>₉₉, <i>a</i>₁₀₀)?