Олимпиадные задачи из источника «22 турнир (2000/2001 год)» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Приведите пример многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2001, для которого  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>P</i>(1 – <i>x</i>) ≡ 1.

На поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 отмечены девять точек.

Докажите, что среди этих точек найдутся две, расстояние между которыми (в пространстве) не превосходит 0,5.

В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>X</i> лежит на стороне <i>AB</i>, а точка <i>Y</i> – на стороне <i>BC</i>. Отрезки <i>AY</i> и <i>CX</i> пересекаются в точке <i>Z</i>. Известно, что  <i>AY = CY</i>  и

<i>AB = CZ</i>.  Докажите, что точки <i>B, X, Z</i> и <i>Y</i> лежат на одной окружности.

Десятичная запись натурального числа <i>a</i> состоит из <i>n</i> цифр, а десятичная запись числа <i>a</i>³ состоит из <i>m</i> цифр. Может ли  <i>m + n</i>  равняться 2001?

Автобус, едущий по маршруту длиной 100 км, снабжен компьютером, показывающим прогноз времени, остающегося до прибытия в конечный пункт. Это время рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автобуса на оставшемся участке маршрута будет такой же, как и на уже пройденной его части. Спустя 40 минут после начала движения ожидаемое время до прибытия составляло 1 час и оставалось таким же ещё в течение пяти часов. Могло ли такое быть? Если да, то сколько километров проехал автобус к окончанию этих пяти часов?

Длины сторон треугольника <i>ABC</i> равны <i>a, b</i> и <i>c</i>  (<i>AB = c,  BC = a,  CA = b</i>  и  <i>a < b < c</i>).  На лучах <i>BC</i> и <i>AC</i> отмечены соответственно такие точки <i>B</i>₁ и <i>A</i>₁, что  <i>BB</i>₁ = <i>AA</i>₁ = <i>c</i>.  На лучах <i>CA</i> и <i>BA</i> отмечены соответственно такие точки <i>C</i>₂ и <i>B</i>₂, что  <i>CC</i>₂ = <i>BB</i>₂ = <i>a</i&...

Для какого наибольшего <i>n</i> можно выбрать на поверхности куба <i>n</i> точек так, чтобы не все они лежали в одной грани куба и при этом были вершинами правильного (плоского) <i>n</i>-угольника.

Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно  <i>a + b + c + d</i>.

Докажите, что <i>abcd</i> делится на 3 или на 5 (или на то и другое).

Среди углов каждой боковой грани пятиугольной призмы есть угол φ. Найдите все возможные значения φ.

Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что <i>ad – bc</i> > 1.  Докажите, что хотя бы одно из чисел <i>a, b, c, d</i> не делится на  <i>ad – bc</i>.

Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность. Через точку <i>A</i> проведены хорды, пересекающие сторону <i>BC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> и дугу <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>.

Докажите, что если вокруг четырёхугольника <i>KLNM</i> можно описать окружность, то треугольник <i>ABC</i> равнобедренный.