Олимпиадные задачи из источника «17 турнир (1995/1996 год)» для 11 класса - сложность 3 с решениями
17 турнир (1995/1996 год)
НазадНа берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого – с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>) угол <i>A</i> равен α. На стороне <i>AB</i> взята точка <i>D</i> так, что <i>AD = <sup>AB</sup></i>/<sub><i>n</i></sub>. Найдите сумму <i>n</i> – 1 углов, под которыми виден отрезок <i>AD</i> из точек, делящих сторону <i>BC</i> на <i>n</i> равных частей:
а) при <i>n</i> = 3;
б) при произвольном <i>n</i>.
В равностороннем треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> взята точка <i>D</i> так, что <i>AD = <sup>AB</sup></i>/<sub><i>n</i></sub>.
Докажите,что сумма <i>n</i> – 1 углов, под которыми виден отрезок <i>AD</i> из точек, делящих сторону <i>BC</i> на <i>n</i> равных частей, равна 30°:
а) при <i>n</i> = 3;
б) при произвольном <i>n</i>.
Прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так, что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что отношение большей стороны прямоугольника к меньшей не менее 2.
Дано <i>n</i> чисел, <i>p</i> – их произведение. Разность между <i>p</i> и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные <i>n</i> чисел иррациональны.