Олимпиадная задача: Доказательство периодичности числовой последовательности (8–10 класс)

  Рассмотрим на координатной плоскости преобразование f, переводящее точку  (x, y)  в точку  f(x, y) = (|x| – y, x).  Тогда  f(x_n, x_n–1) = (x_n+1, x_n).  Поэтому достаточно доказать, что девятикратное применение преобразования f возвращает все точки на место.

  Заметим, что это преобразование однородно:  f(tx, ty) = tf(x, y),  то есть луч переходит в луч (все рассматриваемые лучи выходят из начала координат). Последовательные образы луча l₁, натянутого на вектор  (1, 0),  – лучи l₂, …, l₉, натянутые на векторы  (1, 1),  (0, 1),  (–1, 0),  (1, –1),  (2, 1),  (1, 2),  (–1, 1),

(0, –1);  образом луча l₉ снова является l₁. Эти лучи расположены в порядке l₁, l₆, l₂, l₇, l₃, l₈, l₄, l₉, l₅ и разбивают плоскость на девять углов (см. рис.).

  Рассмотрим точку  (–a, – b),  лежащую в седьмом из них – междуl₄иl₉ (a, b> 0).  Её орбита состоит из девяти точек:  (–a, – b),  (a + b, – a), (2a + b, a + b),  (a, 2a + b),  (–a – b, a),  (b, – a – b),  (a+ 2b, b),  (a + b, a+ 2b),  (–b, a + b)  – по одной соответственно в 7-м, 9-м, 2-м, 4-м, 6-м, 8-м, 1-м, 3-м и 5-м углах. Итак, эти орбиты заполняют всю плоскость. Начав из другого угла, мы пройдём по той же орбите, только со сдвигом на несколько шагов.

Ответ задачи отсутствует