Олимпиадные задачи из источника «11 турнир (1989/1990 год)» для 2-7 класса - сложность 3 с решениями

Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо <i>p</i> человек, либо <i>q</i> (<i>p</i> и <i>q</i> взаимно просты). На какое минимальное количество кусков (не обязательно равных) нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну?

Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 500 граммов. Такой набор называется <i>правильным</i>, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири – на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).

  а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.

  б) Сколько существует различных правильных наборов?

(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)

Даны 103 монеты одинакового внешнего вида. Известно, что две из них – фальшивые, что все настоящие одинакового веса, что фальшивые – тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет. Но неизвестно, в какую сторону отличаются веса фальшивых монет от настоящих. Как можно это узнать с помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Отделить фальшивые монеты не требуется.)

Докажите, что

   а) если натуральное число <i>n</i> можно представить в виде  <i>n</i> = 4<i>k</i> + 1,  то существуют <i>n</i> нечётных натуральных чисел, сумма которых равна их произведению;

   б) если <i>n</i> нельзя представить в таком виде, то таких <i>n</i> нечётных натуральных чисел не существует.

Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 200 граммов. Такой набор называется <i>правильным</i>, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 200, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири - на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).

  а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.

  б) Сколько существует различных правильных наборов? (Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)

Имеется прямоугольная доска <i>m×n</i>, разделённая на клетки 1×1. Кроме того, имеется много косточек домино размером 1×2. Косточки уложены на доску, так что каждая косточка занимает две клетки. Доска заполнена не целиком, но так, что сдвинуть косточки невозможно (доска имеет бортики, так что косточки не могут выходить за пределы доски). Докажите, что число непокрытых клеток

  а) меньше  ^<i>mn</i>/₄;

  б) меньше  ^<i>mn</i>/₅.