Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс»
осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
НазадВ прямоугольной таблице <i>m</i> строк и <i>n</i> столбцов (<i>m < n</i>). В некоторых клетках таблицы стоят звёздочки, так что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что существует хотя бы одна такая звёздочка, что в одной строке с нею находится больше звёздочек, чем с нею в одном столбце.
Отмечено 100 точек – <i>N</i> вершин выпуклого <i>N</i>-угольника и 100 – <i>N</i> точек внутри этого <i>N</i>-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами <i>N</i>-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника <i>XYZ</i> (<i>X, Y, Z</i> – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами <i>N</i>-угольника, и чтобы найти его площадь.
Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями <i>d</i><sub>1</sub>, <i>d</i><sub>2</sub>, <i>d</i><sub>3</sub>, ... . Может ли случиться, что при этом сумма <sup>1</sup>/<sub><i>d</i><sub>1</sub></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>d</i><sub>2</sub></sub> + ... + <sup>1</sup>/<i><sub>d<sub>k</sub></sub></i> не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
а) общее число прогрессий конечно;
б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимат...
Внутри круга радиуса <i>R</i> взята точка <i>A</i>. Через неё проведены две перпендикулярные прямые. Потом прямые повернули на угол φ относительно точки <i>A</i>. Хорды, высекаемые окружностью из этих прямых, замели при повороте фигуру, имеющую форму креста с центром в точке <i>A</i>. Найдите площадь креста.
Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества {1, 2, 3, ..., <i>n</i>}, не содержащие двух соседних чисел.
Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна (<i>n</i> + 1)! – 1.
Можно ли так выбрать шар, треугольную пирамиду и плоскость, чтобы всякая плоскость, параллельная выбранной, пересекала шар и пирамиду по фигурам равной площади?