Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс»

Длины сторон остроугольного треугольника – последовательные целые числа.

Докажите, что высота, опущенная на среднюю по величине сторону, делит её на отрезки, разность длин которых равна 4.

Решить в натуральных числах уравнение:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98024/problem_98024_img_2.gif">

Дано 1989 чисел. Известно, что сумма любых десяти из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна.

Три бегуна – <i>X, Y</i> и <i>Z</i> – участвуют в забеге. <i>Z</i> задержался на старте и выбежал последним, а <i>Y</i> выбежал вторым. <i>Z</i> во время забега менялся местами с другими участниками 6 раз, а <i>X</i> – 5 раз. Известно, что <i>Y</i> финишировал раньше <i>X</i>. В каком порядке они финишировали?