Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 8-9 класс»
весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
НазадЧетырёхугольник <i>ABCD</i> – ромб. На стороне <i>BC</i> взята точка <i>P</i>. Через точки <i>A, B</i> и <i>P</i> проведена окружность, которая пересекается с прямой <i>BD</i> ещё раз в точке <i>Q</i>. Через точки <i>C, P</i> и <i>Q</i> проведена окружность, которая пересекается с <i>BD</i> ещё раз в точке <i>R</i>. Докажите, что точки <i>A, R</i> и <i>P</i> лежат на одной прямой.
Если повернуть квадрат вокруг его центра на 45°, то стороны повёрнутого квадрата разобьют каждую сторону первоначального отрезка на три отрезка, длины которых относятся как <i>a</i> : <i>b</i> : <i>a</i> (эти отношения легко вычислить). Для произвольного выпуклого четырёхугольника сделаем аналогичное построение: разобьём каждую его сторону в тех же отношениях <i>a</i> : <i>b</i> : <i>a</i> и проведём прямую через каждые две точки деления, соседние с вершиной (лежащие на сходящейся к ней стороне). Докажите, что площадь четырёхугольника, ограниченного четырьмя построенными прямыми, равна площади исходного четырёхугольника.
Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 200 граммов. Такой набор называется <i>правильным</i>, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 200, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири - на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).
а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.
б) Сколько существует различных правильных наборов? (Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)
Сколько существует таких пар натуральных чисел (<i>m, n</i>), каждое из которых не превышает 1000, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98049/problem_98049_img_2.gif">
В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.
На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость <i>xOy</i> графики 100 квадратных трехчлёнов вида
<i>y = a<sub>n</sub>x</i>² + <i>b<sub>n</sub>x + c<sub>n</sub></i> (<i>n</i> = 1, 2, ..., 100)?