Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 10-11 класс»

В трапеции <i>ABCD  AB</i> – основание,  <i>AC = BC</i>,  <i>H</i> – середина <i>AB</i>. Пусть <i>l</i> – прямая, проходящая через точку <i>H</i> и пересекающая прямые <i>AD</i> и <i>BD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что либо углы <i>ACP</i> и <i>QCB</i> равны, либо их сумма равна 180°.

На квадратный лист бумаги со стороной <i>a</i> посадили несколько клякс, площадь каждой из которых не больше 1. Оказалось, что каждая прямая, параллельная сторонам листа, пересекает не более одной кляксы. Докажите, что суммарная площадь клякс не больше <i>a</i>.

Существует ли выпуклый многогранник, одно из сечений которого – треугольник (сечение не проходит через вершины), и в каждой вершине сходятся

  а) не меньше пяти рёбер,

  б) ровно пять рёбер?

Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо <i>p</i> человек, либо <i>q</i> (<i>p</i> и <i>q</i> взаимно просты). На какое минимальное количество кусков (не обязательно равных) нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну?

Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 500 граммов. Такой набор называется <i>правильным</i>, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири – на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).

  а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.

  б) Сколько существует различных правильных наборов?

(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> найдётся ненулевой многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с коэффициентами, равными 0, –1, 1, степени не больше 2^<i>n</i>, который делится на

(<i>x</i> – 1)^<i>n</i>.